Cantor Confusion
in [Math]
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From: David Marcus on 10 Dec 2006 21:28 Virgil wrote: > In article <457c60d0(a)news2.lightlink.com>, > Tony Orlow <tony(a)lightlink.com> wrote: > > Mike Kelly wrote: > > > Tony Orlow wrote: > > >> Set theory "disagrees". Interpret that as you wish. > > > > > > Measure theory and probability theory do too, more to the point. > > > > > > > Great. Contradictions within mathematics. > > What contradictions "within" anything? > > It is just that mathematics says that given certain definitions as in > probability theory there is no probability distribution on elements of a > countable set in which each member has the same probability as every > other member. I would think common sense says this too. I've picked random numbers from finite sets, but I haven't a clue how to go about picking a random positive integer. -- David Marcus
From: Dik T. Winter on 10 Dec 2006 21:35 In article <1165778705.529700.296850(a)73g2000cwn.googlegroups.com> mueckenh(a)rz.fh-augsburg.de writes: > Dik T. Winter schrieb: > > In article <1165493929.872320.230630(a)n67g2000cwd.googlegroups.com> mueckenh(a)rz.fh-augsburg.de writes: .... > > > That's all depening on the definition. I advocate the idea that sets > > > can change and numbers can grow because the common (contrary) > > > definition leads the direct way to the (false) result of actuallity we > > > observe in modern set theory. There is no room for potential infinty. > > > > But you do not provide a (mathematical) definition about what it means > > (you almost never give mathematical definitions), so who can those > > things be talked about mathematically while making sense? > > You do not know what a defintion is, unless it is given in the very > primitive language of set theory. It is not suitable for potential > infinity. I do not need a definition in set theory, I need a proper definition. Rather, you do not provide any definition at all. > > > But I am not surprised to hear this harsh critic. With their words and > > > with their notions modern set theory will perish. > > > > You think so. I think modern set theory will survive you. > > I am sure there will always people who believe or pretend to believe > this stuff. So you are right. But the great majority will soon > recognise that it is nonsense. The great majority of what? I think to the great majority of mankind it does not matter one way or the other. > > > So the only objects with which we are concerned from now on > > > are sets. > > > > So they do not state that everything is a set. > > Thing and object is used synonymous. But I would have been very > surprised seeing you to admit an error. Ask people who know set theory > better than you (in case you believe that such people exist). They will > tell you: Everything in ZFC is a set. Or look in one of many > aknowledged books. You will find teh sentence, in ZF everything is a > set. Where will I find that "everything" is a set? Pray provide one single example. The theorems of ZF are not sets in ZF. You need more to make them sets. Moreover, if I remember well, the universe in ZF is most specifically *not* a set in ZF. > I will not bother to take a book from the bibliothy in order to prove > you wrong. We both know that you are wrong, and those who know ZF know > that too. Only you know that and you are not willing to prove that. > > Again, no. Or do you not see the difference between "all objects" > > and "everything"? A theorem obviously is not an object, but it is > > contained in "everything". And also the universe is not an object > > in ZF set theory. > > Everything in ZFC is a set. The universe is not in ZFC. It would be the > set of all sets. So theorems are sets in ZF? Care to provide a proof? > > As you never show your statements with quantifiers in a proper mathematical > > fashion you do apparently not see that the quantifiers are about infinite > > sets. > > Please try to learn: EVERY LINE IS A FINITE SET. Please try to read. I never contradicted that. > And forget your > handwaving about "infinite sets". O course you need this escape ibn > order to avoid admitting that there can be no infinite set of finite > elements. I think we were talking in ZF, with the axiom of infinitity at all. > But I do not agree to accept this esacape. As I have written again and again, you do not accept the axiom of infinity. But that does not make reasoning in a field where that axiom holds false. > It is sufficient > to consider only lines (every element of the diagonal is in a line). > And every line is finite. Therefore, if every element of the diagonal > does exist, then every element of the diagonal is in one line. This > leads to the result that not every element of the diagonal does exist. Yes, again and again ignoring the axiom of infinity. Consider: forall(n in N) thereis(m in N) such that m > n with thereis(m in N) forall(n in N) such that m > n. According to your reasoning that reversal is valid because we are only talking about finite numbers (n and m). But you deny that. Why do you deny that when you allow the same reversal when the statement is replaced by: index m is not in line n What is the essential difference? -- dik t. winter, cwi, kruislaan 413, 1098 sj amsterdam, nederland, +31205924131 home: bovenover 215, 1025 jn amsterdam, nederland; http://www.cwi.nl/~dik/
From: David Marcus on 10 Dec 2006 23:22 Dik T. Winter wrote: > In article <1165778705.529700.296850(a)73g2000cwn.googlegroups.com> mueckenh(a)rz.fh-augsburg.de writes: > > to consider only lines (every element of the diagonal is in a line). > > And every line is finite. Therefore, if every element of the diagonal > > does exist, then every element of the diagonal is in one line. This > > leads to the result that not every element of the diagonal does exist. > > Yes, again and again ignoring the axiom of infinity. Consider: > forall(n in N) thereis(m in N) such that m > n > with > thereis(m in N) forall(n in N) such that m > n. > According to your reasoning that reversal is valid because we are only > talking about finite numbers (n and m). But you deny that. Why do you > deny that when you allow the same reversal when the statement is replaced by: > index m is not in line n > What is the essential difference? That's a good question. -- David Marcus
From: Virgil on 11 Dec 2006 00:37 In article <MPG.1fe689f024ef9952989a47(a)news.rcn.com>, David Marcus <DavidMarcus(a)alumdotmit.edu> wrote: > Virgil wrote: > > In article <1165778054.244969.226800(a)j72g2000cwa.googlegroups.com>, > > mueckenh(a)rz.fh-augsburg.de wrote: > > > > > In order to > > > disprove this assertion you have only two ways: > > > > WM misses the point again. > > > > WE do not have to disprove anything about his assertion. > > > > If WM wishes to assert something and have his claim honored, HE must > > provide a proof in support of that assertion. > > > > WM has not done so. > > I think WM has posted several proofs. The problem is that none of them > are valid. > > > Ergo, we have every right to reject his assertion. > > Ditto. As a fine point, does one call something that is invalid a proof? I was under the impression it was not.
From: mueckenh on 11 Dec 2006 01:47
Franziska Neugebauer schrieb: > mueckenh(a)rz.fh-augsburg.de wrote: > > > Franziska Neugebauer schrieb: > [...] > >> Provide one [definition of number]. Don't forget to provide a > >> definition of "not-fixed" > >> number and "not-fixed" set. And please show that one gains advantage > >> over the function concept. > >> > > A function is a set of ordered pairs and as such it is not variable. > > True. > > > The expression "variable" is merely a relict from ancient times when > > people knew that the objects of mathematics do not exist in some > > nirvana but have to be present in a mind where not everything can be > > present simultaneously. > > Let me summarize: > > 1. You do not present a convincing definition of "number". (Most likely > you have none). Definitions are abbreviations like the following: Was sind Zahlen? Ich scheue mich nicht, dem Leser zu gestehen, daß die Bestim¬mung des Begriffes der Größe ... mir in der That mehr Mühe verursacht habe, als die Erklärung aller übrigen Begriffe in die¬ser Wissen¬schaft; daß ich auch nirgends so oft meine Meinung geändert. BERNARD BOLZANO Was sind und was sollen die Zahlen? ... Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes.¬ RICHARD DEDEKIND HEINRICH WILHELM KRAUSHAAR schreibt in seinem Versuch einer festen philosophi¬schen Bestimmung der ersten Vorstellungen und Grundbegriffe der Größenlehre (1814), daß die arithmetische Einheit bloß in der Vorstellung existiere und daß es dem Mathematiker unmöglich sei, selbige zu definieren. MARTIN OHM, im Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik (1822), stimmt dem bei: Der Begriff der Zahl ist ein einfacher Begriff und uns gegeben. Und auch WILHELM TRAUGOTT KRUG sieht weder Erklärungsbedarf noch die Möglichkeit dazu. Im Allgemeinen Handwörterbuch der philosophischen Wissenschaften (1827) liest man, Einheit sei ein so einfacher Begriff, daß er nicht erklärt werden könne und Größe sei eine Eigenschaft, die jedem Dinge zukommt, sobald sich an ihm irgend ein Mannig¬faltiges unterschei¬den läßt. AUGUST CRELLE definiert in seinem Buch Rechnen mit veränderlichen Größen (1813) die Größe lediglich als den Begriff des Teilbaren. IMMANUEL KANT erklärt in der Kritik der reinen Vernunft die Größe als die Eigenschaft eines Dinges, wodurch gedacht werden kann, wievielmal Eines in ihm gesetzt wird. BERNHARD FRIEDRICH THIBAUT sagt in den Grundregeln der Mathematik (1809), daß sich der Begriff der Größe gar nicht auf andere zurückführen, d. h. aus ihnen zusam¬mensetzen lasse und nur durch das mittelbare Vorstellen seines Gegenstan¬des ver¬ständlich gemacht werden könne. BERNARD BOLZANO definiert: "Alle Vielheiten dersel¬ben Art sind auch als Größen ein und derselben Art zu betrachten" [BOL75, p. 225]. Abweichend vom Zahlbegriff des klassischen Altertums schließt er ausdrücklich die Einheit ein: "Ganz aus demselben Grunde aus welchem jede Vielheit einer gewissen Art als eine Größe dieser Art betrachtet werden darf, kann auch die Einheit selbst als eine Größe dieser Art angesehen werden" [BOL75, p. 226]. Es gibt einfache, wirk¬liche, gegenstandlose und unmögliche oder bloß eingebildete Größen. RICHARD DEDEKIND gibt in der Einleitung zu seiner Schrift Was sind und was sollen die Zahlen? zwar eine Antwort, allerdings mehr in Form einer Umschreibung, als einer Definition "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen" [DED88, p. III]. GEORG CANTOR hat 1895 erstmals die natürlichen Zahlen auf mengen¬theoreti¬scher Basis begründet [CAN32, p. 289 ff]. § 5 seiner Beiträge zur Begründung der transfini¬ten Mengenlehre trägt den Titel Die endlichen Kardinalzahlen und verspricht, "die natürlichste, kürzeste und strengste Begründung der endlichen Zahlenlehre [zu] lie¬fern" ERNST ZERMELO als Herausgeber von CANTORs Werken merkt dazu an: "Die hier ent¬wickel¬te Theorie der endlichen Kardinalzahlen ist, an modernem Maßstabe gemes¬sen, wenig befriedigend, da die notwendige Grundlage einer solchen Theorie, eine scharfe begriffliche Definition der endlichen Mengen, noch fehlt und wohl über¬haupt erst auf einer höheren Stufe der allgemeinen Theorie, z. B. mit Hilfe der Wohlor¬d¬nung gewonnen werden kann" [CAN32, p. 352]. Das ist in gewissem Maße zwar berechtigte, allerdings auch zu kritisierende Kritik, denn wie wir in Kapitel 7 feststellen mußten, gibt ZERMELO selbst im ZF-Axiomen¬system überhaupt keine Definition des¬sen, was eine Menge zu nennen sei. Und die wesentliche Bildung der natürlichen Zahlen aus Mengen im Stile von ZERMELO selbst oder V. NEUMANN hat CANTOR hier zweifellos bereits weitgehend antizipiert. Was in ein Axiomensystem hineinzuschreiben ist, hängt erfahrungsgemäß sehr vom Zeitgeschmack ab. Ohne die Verwendung von Buchstaben und Grundbe¬griffen ist die Erklärung von Buchstaben und Grundbegriffen nicht möglich. Selbst das heute allgemein als vorbildlich anerkannte Axiomensystem der natürlichen Zah¬len nach PEANO (s. Kasten 1.1) bildet da keine Ausnahme. Es macht von der Kennt¬nis der natürlichen Zahlen insofern bereits Gebrauch, als in Axiom 2 die "natürliche Zahl a" und in Axiom 5 eine "Menge von natürlichen Zahlen" vorkommt. Jede natürliche Zahl a hat einen be¬stimmten Nachfolger. Aber wann ist a eine natürliche Zahl? Das eben soll durch die Axiome erst festgelegt werden. Was der wichtige Begriff eines "Nachfolgers" bedeutet, wird überhaupt nicht gesagt. Wegen dieser ungeklärten Nachfolgerege¬lung kommt ebenso der nächst kleinere Stammbruch wie die nächst größere Primzahl in Frage. Ohne eine intuitive Vorkenntnis des Begriffs "natürliche Zahl" oder ein zu wählendes Modell werden lediglich Folgen aus paar¬weise verschiedenen Gliedern wie 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... oder 1, 2, 4, 8, ... durch die PEANO-Axiomen beschrieben, die zwar isomorph zur Folge der natürlichen Zahlen sind, aber eben nicht identisch mit ihr. Eine axiomatische Definition der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Operation "+1" zur Konkretisierung der Nachfolgeregelung setzt zwar die Kenntnis dieser Addition bereits voraus, doch ist das ein vertretbarer Standpunkt, wie er auch bei RICHARD DEDEKIND zum Ausdruck kommt. "Ich sehe die ganze Arithmetik als eine notwendige oder wenigstens natürliche Folge des einfach¬sten arithmetischen Aktes, des Zäh¬lens, an, und das Zählen selbst ist nichts anderes als die sukzessive Schöpfung der unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen, in welcher jedes Individuum durch das unmittelbar vorhergehende definiert wird; der einfachste Akt ist der Übergang von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauffolgenden neu zu erschaf¬fen¬den" [DED72, p. 5]. Die Addition von 1 ist zwar zunächst nicht definiert, jedoch darf sie als die elemen¬tare in jeder Urintuition verankerte Rechenoperation gelten, ohne die Rechnen über¬haupt unmöglich ist und natürliche Zahlen sinnlos sind. Ist weiters die Kenntnis der Begriffe Menge und Durchschnittsbildung bekannt, so liefern die folgenden Axiome eine präzise Eingrenzung der Menge der natürlichen Zahlen: 1) 1 in M. 2) if n in M then n + 1 in M. 3) N ist Durchschnitt aller Mengen M, die (1) und (2) erfüllen. Die Definition einer Zahl sagt aber noch nichts darüber aus, ob diese Zahl tatsächlich existiert. Nach einem formalistischen Ansatz ist dazu lediglich die Widerspruchsfrei¬heit im verwendeten Axiomensystem erforderlich. Es gibt demnach zwar keine natürliche Zahl zwischen 1 und 2 und keine reelle Wurzel aus einer negativen Zahl. Was aber zu keinem Widerspruch führt, das existiert. Dieser sogenannte Realismus als philosophische Rich¬tung in der Mathe¬matik, wie er von POINCARÉ und HILBERT vertreten wurde, trägt seinen Namen zu Unrecht. Er nimmt auf reale Gegebenheiten überhaupt keine Rücksicht, lehnt jeden Bezug auf physikalische Einschränkungen ab und weigert sich anzugeben, wie die Existenz der widerspruchsfreien Größen ontologisch zu verstehen sei. Diese Richtung sollte daher besser nur als PLATONismus bezeichnet werden. > > 2. You do not present a convincing definition of "numbers" and "sets" > which are "not fixed" or "un-fixed". > > 3. You do again try to discuss issues of neuro sciences (representation > of abstract entities in mind (or in the brain?)) in sci math. Of course, because math requires mind and brain. Regards, WM |