From: MeAmI.org on 4 Sep 2009 15:53 On Sep 4, 10:28 am, "MeAmI.org" <Me...(a)vzw.blackberry.net> wrote: >               L ov e.  M  u.  d.  .  w e. . > wr.   o. t e: >       T . H  E .  O  R.  E.  M.  :  P = N P. =  = > P .   .   =      N   P . .      P . P.  P . > =      N.  N.  N. P.  P. P . > >  P  P P   P. P  P. .   .  =    N  NN  NN.   N.  P. PP . PP > P > >  F.  r ed  e r. I. c. k Wi l  l i.  a  m s.   w. r o. te:>  .   M I cha el . Ste mpe r.   w. rot e. : > >  > . > >  > > I  n  a  rti  cle. <4AA 0 D1AA.F 56 53 15 7@  tes.  co.  ne > t> ,  F. re. de r. ic. k. Wi  l li a ms.  <fr. eder. ick .w i l. liam > s2(a)tesc o.ne t>. writ. es :> .  >. >W illia m Ell iot w rot. e: > >  > >. >> On  M o n,  27.  Oct 2 008,  jav awi z  ard. wr o te: >  >.  > >  > >.  >  >. >  Ha. ve y o  u.  come.  u p. w ith.  any  in  t.  ere > s  ing  ma t h. fact s tha t wou ld  be  a .  goo.  d >  > >. >> >. addit ion t. o w w.  w.od  d-in fo.c om. ?> >  >>.  > > >   >. > >.  Th er e  a r e. no un inte r. e sti n g  I.  nteg  e  r s. . >  >.   > > >  .  >  W e l l,  t h. e r e.   ar en 't  an y u nint e  re s  ti n g n  a tur als,  an. y way. > >  > >. >  > > .  >>.  A l mo  s. t a l l.  r eal. numb er s. don' t ha  ve. > a >  >. >  >>.  f ormu la. o r . a. ny o t her .  w. ay  o f com p utin g > th em . >  >.  > .  >>.  > >Wh a t do  es.  'have .  a.  f o. r m u l a '.  mea  n ? >  >.  >. > >.  > I .  woul d g. u e ss.  tha. t I. t  m eans  "be. u niq uel y  and.  u. nambi guo  u s ly. spe c if  ie d > >  > >.  I n a. finit e. numb e r.  o f. chara cter s ". . >  > >  >  O h,  in t  h at. case  I  sup pose. it  m ak es . se n  se. > B ut t. here  are  f.  o rma. l> l angua  ges .  (s ee  Henkin for. ex ample). in . w hi c h ev. ery. in. d ivid ual. has a > >  >. name .   To . be  su.  re o n e c a n't . wr ite.  dow n  al l. > the. formu lae. but.  we. sh ou ldn't >  > b e.  t oo w ed d ed. t o m ere. writi ng d o. wnne  ss. (or. w ri > ting do w  nab ilit y,  I 'm n ot >  >  sure ).> . > > > Fo r in stan ce, a 8:01:13 AM  ho ugh.  pi's  deci ma l e  xpan sion  is I n f. I nite,  a. nd  canno t > >.  > be  expre ssed.  in te rms o f. a r epea ting. par.  t , I t can  stil. l be . exp resse d > >. . > I n a.   fe. w.  w ays: > >  > 1.  G ivi ng one  of.   the. infin ite s e qu.  ence. s th. at ha s. pi. as.  a. l imit > >  >  >. 2. "a rc co s( -1  ). >  >.   >. 3. "p i" >  > .  >.> .  >. Simil arly,  a l.  th ou g h. t h  e dec imal. expan sion. o. f. . th. e.  s q.  u are.  ro  ot  of.  tw o > >  >. > has.  the.  s. ame . p  rob  lem,  I t  can  be.  e xp res sed. > finit e ly.  as:>  >. 1. " sqrt(   2 ) " > >. > 2.  "th e. posit  iv e.  roo  t  o f x* x = 2 ". > >  >. .  > >  > > . Ho w ev er,  it' s.  no t po ssib le. t o co me u p w I t h a. > uniq ue, f I  ni  t e ly-ex pr es sible.>.   >  repr es en tatio n .  for. .  eve ry re al . T his I s be. cau se . th e set  of.  poss ible > >  >. exp r essi ons. h as t h e.  sa me.   c ar d ina  l ity  as d oes.  the.  set.  of.  t he  nat u r. als, >  >. > >. . Ye s,  bu t.  on l y I   n  a  .  na.  rro w (c h orus of b ooo. orin  g !  ) s.  ense.  o f.  ' e xpres s ion ', > >  se e.  infi nita ry la n gua.  ges. . > > > .  > w hich. is l es  s  th. an t.  ha t.  o f t  h e c a  r di nalit y o f th e.  s et o f the  rea ls. > >  > >  > To o  bad  for  th em y o. u mi ght. say! > >  >. How  ab out. the. c o mp uti ng t hing ?  I' m. pre pared  to. bel > ieve  that .  g I ven. a>. defi nitio n  of  com puta ble.  not.  ever y re al n um ber  can  be. com. put. ed b y I t ( a > > c ardi nali t y a rgu. men  t.  aga I n or  diag onal I zi. ng or  so me th ing) .  B u t.  g I ven. a > >. re a l num ber,  can  one  not  c o ok. u p a m ethod  o f co mput ing. that. will  c om pute > > it ?  O n e t  he  ot her hand perhaps I'm  not.  p rep ared. to b. elie ve I  t:   eve.  ry. > >  >.  re. al.  n. umbe. r r h as an  e. x  p an . s  I.  o  n.  in. t > he.  r a d ix.   o f.   y o. u r  c .  ho i c e.    P  u  t  t > ha  t >  > e.  x.   p a nsi on. o n .   a. T u r in. g. m a.  c. h  i n > e .   t a .   pe an d fe ed  I t  to.  . a  two .  t ape  T. > M.   t  h a. .  t >  M.M  . Ma.  c. hi .  ne.  r ep la c e s .  T.M. .     M u s at > o v  n  a. med. ag t  er.   +  f . a f te. r M. .  M=M  usa. t o > v. .   eero. > te.                              >. wc > opie s. its  I nput t o I t s  o u.   t pu. t.   Ha  s. sa id T. > M.  . co. mpu t ed  r? >  > >  P .  ~ N>P > P =N P >   [ I.   su s pe.  ct th. a t. n  ot a ll. o f th. I  s. po st. > is  s  er iou . s  . ] >  >. . >  >. - ->  W. h.  I  c h . o f th e  se ven he av  ens. / W as  r es po n si ble .  her. s mil e  / > >  > .    W.  o  u l.  d. . n 't .  be. su  re . but  att e > sted.   /  Th.    .    at ,       w.  h .  o  e.  v er > I.  t  .  w a s . , a.   go  d .   / >   >.       W. o.  r. t h.  .  k n . e.  el . i n.  g - > to .  f  or .  a  .    wh.  I .  l e.  /    Ha d t.  ab e r. > na cled  a nd.  r. e.  st e  .   d.L o v  e .     Mud .  w. e. > wr.  o. t .  e: >       T  HE OR E M :P.   = N .  P.  = =   P . =  N . > P . .    P.      P P.  .    =    N . N NP  .  PP. > >      P .    P .   P P.   P .   P .  =    N.  NN . > N.      N .  N. P P .   .    P. .  P.    P.  P. > >      Q .  .   E  .  D .   . > >      Q.  .       u.   .      I  . > d .       .           E .  . > s .        .     om.    e .   .     t.  . > h.  I. .   n  g . > >         D .        s  .          o. > m  .   .   e .  .  .     .       t.  h i n. . . > g  .  . > >          M.  ar  .   t.  I .  n.     M .  u  s a . > to. v .  .                        P > Title- ??                                . > I. . .          m .     d. > b .    . > c.  .       o.  m .   .     /          n. > a  . > m.       .      . > e  .  .                   .               / > n  .  .          . > m. .  . > 1  .    .  . > 7. . > 8.     . > 5. .                 . > 7. > 8  .  .    . > 3 .  .     / >                            s  . > ec  .   o . .  .  n  .    d. .   o. .   n. > d.  .     .     o.   .        n.   d > s.                  ) .        . >  .  S.     e.     . > a. .  .            rc  . > h  .                 Re. s.   .     u. .  . > l  .     t .      s. 1.       M . .     a  .  r  . > t.   I.  .    n  .     M  .   .     u.  s.  . > a .   t .   .         o  .    v.  . > W.         r .    I  .          t  . > e   .      r  .     : > S.          o.      l.   . > s. .                t > i. .   .                        . > c.  . > e.  .      .          . > V . .         .              . > I . . > s.  .  .       .     . > I  . > t .    .      . > I .    'm.     D.  .    b.     . > fo. > r  .  .       . > P .       . > h.     .               o . > t.          o .  . . > s.    .  .   ,                   w. > s.     ,     P.  .     l  . .  o .  t.  . > S  u  m. .   .        mar .   . > y. . .     ,                 C.     o  . > m.  .    m .  e .   .       n. .   . > t .   .         s .  .      .   , > D  .   .  I.  s.   c. u.   s  .   s  i.      o > ns  . .    ,    T  a . g. l  in.  .  es  ,     Tr. . > a  .  i.    l.   e. . r. .  s .  ,     P.  o. > s.       a .  .      g.  .   e.     b o  .  a . r.  . > d. . f.  .   o.  r.    S.  o .  l.    o.    m.  on  . > (    19  97)  .  .     .     ..w. . w.  w.  .    m. > a.  .   i l.  .   -    a. r  c. .  h.   I v  e . > c.    o.  .  .       m. /   at .   .   he I .  s  m- > l.   s.    l .  I. .  k .   e .      y  o  ur.   s. e. > lf  ,    Mu s.  .  a  to.  v. ,  c.  l a i  m.  t o.   h.  a ve > a z o n.  co m. / M ovi .  e .  . .W.  i >  s .  tat.   us.  o . f .  r.   es.  e .       ud.  g > e. .  .  h. .  tm. > << > L .  o v.  e.   M.   u.    d.    .    w. > e . .  .       w r.     o.  t  e: >              T  . .   H.   E . .    O .   R  . > E.  .   M.     :  P . =     N.  P.   =    = > P.  .          . > =                  N. > P. .  .    .   . > P. .   .       . > P.       .       . > P.   . > = > N  .  .  .          N. . > N .  .      P.  . > P  .         P .         . > >      P.    P.  P .      P .  P. > P .  .        .    =             N.  N N.  . > N  N .       N.   P .  PP.   .   PP.   P. > >     F.       r ed.   e. . r.   I .   c.  k  W.  I. > l.    l. 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