simple: P versus NP [Theory]

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From: Anonymous Number of People on 24 Oct 2009 14:01

Das
'''P-NP-Problem''' (auch '''P≟NP''', '''P versus NP''') ist ein
ungelÃ¶stes Problem der [[Mathematik]] und [[theoretische Informatik|
theoretischen Informatik]], speziell der [[KomplexitÃ¤tstheorie]]. Es
stellt die Frage, ob Probleme existieren, fÃ¼r die eine gegebene LÃ¶sung
leicht Ã¼berprÃ¼ft werden kann, das Finden einer solchen LÃ¶sung jedoch
extrem schwierig ist. The'' 'P-NP problem''' (also'' 'P''â
NP','' 'P versus NP''') is an unsolved problem of [[mathematics]] and
[[theoretical computer science | theoretical computer science]],
especially the [[complexity theory]]. It raises the question of
whether problems exist for a given solution can be easily checked, the
finding of such a solution is extremely difficult. Dies ist formal
Ã¤quivalent zu der Frage, in welcher Beziehung die beiden
[[KomplexitÃ¤tsklasse|KomplexitÃ¤tsklassen]] [[P (KomplexitÃ¤tsklasse)|
P]] und [[NP (KomplexitÃ¤tsklasse)|NP]] stehen. Erkannt wurde das
Problem zu Beginn der 1970er Jahre aufgrund unabhÃ¤ngig voneinander
erfolgter Arbeiten von [[Stephen A. Cook|Stephen Cook]] und [[Leonid
Levin]]. Das P-NP-Problem gilt als eines der wichtigsten offenen
Probleme der Informatik und wurde vom [[Clay Mathematics Institute]]
in die Liste der [[Millennium-Probleme]] aufgenommen. ==P und NP==
[[Bild:Complexity classes (de).svg|thumb|250px|Die KomplexitÃ¤tsklasse
NP, unter der Annahme P≠NP. This is formally equivalent to
the question of the relationship between the two [[complexity class |
Complexity classes]] [[P (complexity) | P]] and [[NP (complexity) |
NP]] is possible. Detected was the problem at the beginning of 1970s
due to successful work independently by [[Stephen Cook | Stephen
Cook]] and [[Leonid Levin]]. The P = NP problem is one of the most
important open problems in computer science and has been prepared by
[[Clay Mathematics Institute Date]] in the list of [[Millennium Prize
Problems]]. P and NP == == [[Image: Complexity classes (en). svg |
thumb | 250px | The complexity class NP, under the assumption P â NP. In
diesem Fall enthÃ¤lt NP auch Probleme oberhalb von P, die nicht [[NP-
VollstÃ¤ndigkeit|NP-vollstÃ¤ndig]] sind.<ref>RE Ladner: ''On the
structure of polynomial time reducibility'', J.ACM, 22, pp. In
this case NP problems above also contains P, which does not [[NP-
complete | NP-complete]] are. <ref> RE Ladner:''On the structure of
polynomial time reducibility'', J. ACM, 22, pp. 151–171,
1975. 151-171, 1975. Corollary 1.1. Corollary 1.1.

[http://portal.acm.org/citation.cfm?
id=321877&dl=ACM&coll=&CFID=15151515&CFTOKEN=6184618 ACM Eintrag].. [Entry http://portal.acm.org/citation.cfm?id=321877&dl=ACM&coll=&CFID=15151515&CFTOKEN=6184618
ACM]. </ref>]] Die KomplexitÃ¤tstheorie klassifiziert Probleme, die von
Computern [[Berechenbarkeit|berechnet]] werden kÃ¶nnen, anhand des zu
ihrer LÃ¶sung erforderlichen Aufwands. </ ref>]] Complexity
theory classifies problems, which can be calculated by computers
[[predictability |]] are, on the basis of the effort required for
their solution. Eine MÃ¶glichkeit zur Quantifizierung des
Berechnungsaufwands ist die Zahl der maximal notwendigen
Rechenschritte, die [[ZeitkomplexitÃ¤t]]. One way to quantify
the calculation effort is the maximum number of computational steps
necessary to [[time complexity]]. Die KomplexitÃ¤t eines
Problems wird hierbei immer im VerhÃ¤ltnis zur LÃ¤nge der Eingabe fÃ¼r
die Berechnung angegeben. The complexity of a problem is given
here always proportionate to the length of the input for the
calculation. Zur exakten Analyse der ZeitkomplexitÃ¤t werden
auÃerdem formale [[Maschinenmodell]]e benÃ¶tigt. To be precise
analysis of time complexity also formal [[machine model]] s needed. Ein
hÃ¤ufig verwendetes Modell ist dabei die [[Determinismus (Algorithmus)|
deterministische]] [[Turingmaschine]], welche als die Abstraktion
eines realen Computers angesehen werden kann. Eine der
komplexitÃ¤tstheoretischen Problemkategorien ist die KomplexitÃ¤tsklasse
P. Bei LÃ¶sung durch eine deterministische Turingmaschine kann fÃ¼r
jedes Problem dieser Klasse ein [[Polynom]] der Form ''nk''
angegeben werden, das die ZeitkomplexitÃ¤t im VerhÃ¤ltnis zur
EingabelÃ¤nge ''n'' nach oben beschrÃ¤nkt. A commonly used model
is the [[Determinism (algorithm) | deterministic]] [[Turing machine]],
which can be viewed as an abstraction of a real computer. One of the
complexity-categories of problems is the complexity class P. In
solution by a deterministic Turing machine can for every problem of
this class is a [[polynomial]] of the form''s k ''is
specified, the n the time complexity relative to the input
length''''bounded from above. Probleme aus P sind somit ''deterministisch in
[[Polynomialzeit]] lÃ¶sbar''. P wird gelegentlich als ''Klasse der
praktisch lÃ¶sbaren Probleme'' bezeichnet. Problems in P are
thus''deterministically solvable in [[polynomial]]''. P is sometimes
referred to as''the class of practically solvable problems called''. Falls
zu einem bestimmten Zeitpunkt die maximale EingabelÃ¤nge, fÃ¼r die ein
Problem in akzeptabler Zeit gelÃ¶st werden kann, bei ''n'' liegt, wird
hier die ''2k''-fache Rechenleistung benÃ¶tigt, um das
Problem bei doppelter EingabelÃ¤nge in entsprechender Zeit zu lÃ¶sen. If at a certain time, the maximum input length for which a
problem can be solved in reasonable time, with''s''is, here the''2
 k ''times the computing power required to the problem
with dual input length resolved in an appropriate time. Sofern das
[[Mooresches Gesetz|Mooresche Gesetz]] vorausgesetzt wird, entsprÃ¤che
dies etwa ''2*k'' Jahren Hardwareentwicklung. Unless the
[[Moore's Law | Moore's Law]] is assumed, this would correspond to
about 2 *''k''Year hardware development. Obwohl dieser grobe
Richtwert aus verschiedenen GrÃ¼nden noch zu optimistisch gewÃ¤hlt ist,
zeigt er, dass die LÃ¶sbarkeit von Problemen in P durch Fortschritte in
der Computertechnologie positiv beeinflusst werden kann. Beispiele fÃ¼r
Probleme der KomplexitÃ¤tsklasse P sind das [[Sortierverfahren|
Sortierproblem]] oder das [[Circuit Value Problem|Schaltkreis-
Auswertungsproblem]]. Eine weitere anhand der deterministischen
Turingmaschine definierte Problemmenge ist die [[EXPTIME|
KomplexitÃ¤tsklasse EXP]]. Although this rough guideline, for
various reasons is still selected, over-optimistic, it shows that the
solvability of problems in P by advances in computer technology can be
positively influenced. Examples of problems in the complexity class P
[[sorting algorithm | Sorting problem]], or are the [[Circuit Value
Problem | Circuit Analysis problem]]. Another basis of the
deterministic Turing machine defined problem set is the [[EXPTIME |
complexity class EXP]]. Anstelle eines Polynoms wird hier als obere
Schranke fÃ¼r die ZeitkomplexitÃ¤t eine Funktion der Form <math>2^{n^k}</
math> in AbhÃ¤ngigkeit von der EingabelÃ¤nge ''n'' angegeben.
Instead of a polynomial is here n as an upper bound on the time
complexity is a function of the form <math> 2 ^ (n ^ k) </ math>,
depending on the input length''''stated. Die LÃ¶sung der
schwersten Probleme dieser Klasse benÃ¶tigt also ''exponentielle
Zeit''. The solution of the difficult problems of this class,
so use''exponential time''. Weiterhin ist die Klasse P vollstÃ¤ndig in EXP
enthalten. Furthermore, the class P is completely contained in
EXP. FÃ¼r einige Probleme in EXP kann jedoch gezeigt werden, dass
diese ''nicht'' in Polynomialzeit gelÃ¶st werden kÃ¶nnen, zB die Frage,
ob eine Turingmaschine der GrÃ¶Ãe n auf einer Eingabe der GrÃ¶Ãe n
innerhalb von <math>2^n</math> Schritten anhÃ¤lt oder nicht. For
some problems in EXP can be shown that this''does not''can be solved
in polynomial time, eg the question whether a Turing machine of size n
on an input of size n within <math> 2 ^ n </ math > steps persists or
not. Die LÃ¶sbarkeit dieser Probleme kann nach derzeitigem Stand des
Wissens auch durch zukÃ¼nftige technologische Fortschritte nicht
wesentlich verbessert werden. Die KomplexitÃ¤tstheorie definiert jedoch
noch weitere Maschinenmodelle neben der deterministischen
Turingmaschine. The solvability of these problems at the
present state of knowledge can not be significantly improved by future
technological advances. The complexity theory, however, identified
additional machine models in addition to the deterministic Turing
machine. Ein wichtiges Modell ist die [[nichtdeterministische
Turingmaschine]], welche eine Erweiterung der deterministischen
Variante darstellt. An important model is the [[non-
deterministic Turing machine]], which is an extension of the
deterministic variant. Eine nichtdeterministische Turingmaschine hat
zu jedem Zeitpunkt eventuell mehrere MÃ¶glichkeiten, ihre Berechnung
fortzusetzen, der Rechenweg ist deshalb nicht eindeutig bestimmbar. A nondeterministic Turing machine has to continue at any time
any number of ways, their calculation, the computation is therefore
not clearly determined. Es handelt sich dabei um ein theoretisches
Modell, das nicht gleichwertig zu realen Computern ist. This is
a theoretical model, which is not equivalent to real computers.
Sein
Nutzen ist in diesem Zusammenhang, dass durch nichtdeterministische
Turingmaschinen eine weitere KomplexitÃ¤tsklasse unterschieden werden
kann, welche innerhalb von EXP liegt und ihrerseits P einschlieÃt. Die
KomplexitÃ¤tsklasse NP ist die Menge aller von nichtdeterministischen
Turingmaschinen in Polynomialzeit lÃ¶sbaren Probleme. Its
usefulness is in this context that can be distinguished by
nondeterministic Turing machines, a further complexity class, which
lies within EXP and in turn includes P. The complexity class NP is the
set of all non-deterministic Turing machine in polynomial time
solvable problems. Diese Teilmenge von EXP enthÃ¤lt eine sehr groÃe
Zahl relevanter Problemstellungen. This subset of EXP contains
a very large number of relevant issues. Da sich die
Probleme aus P natÃ¼rlich auch nichtdeterministisch in Polynomialzeit
lÃ¶sen lassen, ist P eine Teilmenge von NP. Since the problems
in P can naturally solve nondeterministic polynomial-time, P is a
subset of NP. Unklar ist aber, ob die beiden Klassen
identisch sind, und damit auch, ob die schwersten Probleme der Klasse
NP ebenso effizient wie die der KomplexitÃ¤tsklasse P gelÃ¶st werden
kÃ¶nnen. Ein anschauliches Problem aus NP, fÃ¼r das nicht klar ist, ob
es in P enthalten ist, ist das [[Rucksackproblem]]. It is
unclear however whether the two classes are identical, and thus
whether the most serious problems of class NP as efficiently as the
complexity class P can be solved. An illustrative problem in NP for
which it is not clear whether they belong to P is the [[knapsack
problem]]. Bei diesem Problem soll ein beliebig groÃer BehÃ¤lter so mit
vorgegebenen GegenstÃ¤nden gefÃ¼llt werden, dass der BehÃ¤lter maximal
gefÃ¼llt und der Inhalt so wertvoll wie nur mÃ¶glich ist. In this
problem an arbitrarily large tank will be filled with predefined
objects that filled the tank up and the content is as valuable as
possible. Ein anderes wichtiges Beispiel ist das [[ErfÃ¼llbarkeitsproblem
der Aussagenlogik]]. ==LÃ¶sung des Problems== Bisher existieren zum
exakten LÃ¶sen von [[NP-VollstÃ¤ndigkeit|NP-vollstÃ¤ndigen]] Problemen
nur Exponentialzeitalgorithmen auf deterministischen Rechenmaschinen. There are another important example is the [[Boolean
satisfiability problem]]. == == Date solution to the problem for exact
solution of [[NP-complete | NP-complete]] problems only
Exponentialzeitalgorithmen on deterministic computing machines.
Andere Klassen von Problemen, welche garantiert mindestens
exponentielle Laufzeit benÃ¶tigen, veranschaulichen die derzeit
''praktische'' UnlÃ¶sbarkeit von NP-vollstÃ¤ndigen Problemen (zum
Beispiel [[TÃ¼rme_von_Hanoi#Praktische_UnlÃ¶sbarkeit|TÃ¼rme von Hanoi]]).
Im Gegensatz zu diesen Problemen, die oberhalb der Klasse NP liegen,
ist fÃ¼r NP-vollstÃ¤ndige Probleme wegen des offenen P-NP-Problems nicht
bewiesen, dass ein optimaler Algorithmus exponentielle Laufzeit
benÃ¶tigt. Other classes of problems that require guaranteed at
least exponential time) illustrate the
current''practical''intractability of NP-complete problems (for
example, [[TÃ¼rme_von_Hanoi # Praktische_UnlÃ¶sbarkeit | Towers of
Hanoi]]. In contrast to these problems, the above the class NP are
located, is NP-complete problems because of the open P-NP problem is
not proved that an optimal algorithm requires exponential runtime. WÃ¼rde
man fÃ¼r eines dieser Probleme einen auf deterministischen
Rechenmaschinen polynomiell zeitbeschrÃ¤nkten Algorithmus finden, so
kÃ¶nnte jedes beliebige Problem aus NP durch
[[Polynomialzeitreduktion]] darauf reduziert und somit in
deterministischer Polynomialzeit gelÃ¶st werden; in diesem Falle wÃ¤re
also P = NP. Da es bisher nicht gelungen ist, einen solchen
Algorithmus zu entwerfen, vermutet der GroÃteil der Fachwelt, dass
P≠NP gilt. Would be found for any of these problems, one on
nondeterministic polynomial time-limited algorithm, calculating
machines, so any problem in NP could be reduced by [[polynomial]] on
it and thus be solved in deterministic polynomial time, in this case
would be P = NP. As far has not been able to design such an algorithm
that assumed most of the experts that have P â NP. Dies kÃ¶nnte
mathematisch dadurch nachgewiesen werden, dass fÃ¼r ein Problem aus der
Klasse NP bewiesen wird, dass kein deterministischer
Polynomialzeitalgorithmus zu dessen LÃ¶sung existiert.
===Relativierende Beweistechniken=== Ein Beweis fÃ¼r die Beziehung
zweier KomplexitÃ¤tsklassen ist ''relativierend'', wenn die Beziehung
fÃ¼r beliebig hinzugefÃ¼gte [[Orakel-Turingmaschine|Orakel]] erhalten
bleibt. This could be mathematically proven fact that is proved
to be a problem in the class NP, that no deterministic
Polynomialzeitalgorithmus exist to solve it. Relativizing proof
techniques === === is a testament to the relationship between two
complexity classes''relativizing''if obtain the relationship for any
added [[Oracle machine | oracles]] remains. Unter die Klasse
der relativierenden Beweistechniken fÃ¤llt zB auch das in der
KomplexitÃ¤tstheorie hÃ¤ufig eingesetzte Verfahren der [[Cantor-
Diagonalisierung|Diagonalisierung]]. Among the class of
relativizing proof techniques as well as falls in complexity theory
commonly used method of [[Cantor diagonalization | Diagonalisation]]. Zeigt
man beispielsweise <math>K \neq K'</math> mittels Diagonalisierung, so
gilt automatisch <math>K^A \neq K'^A</math> fÃ¼r jedes Orakel <math>A</
math>. Shows, for example, <math> K \ neq K '</ math> by means
of diagonalization, it is automatically <math> K ^ A \ neq K' ^ A </
math> for every oracle <math> A </ math>. Der folgende
wichtige Satz von T. Baker, J. Gill und R. Solovay <ref>T. The
following important theorem of T. Baker, J. Gill and R. Solovay <ref>
T. Bakerm, J. Gill, R. Solovay: ''Relativizations of the P=?NP
question.'', SIAM Journal on Computing 4, pp. Bakerm, J. Gill,
R. Solovay:''Relativizations of the P =? NP question.''SIAM Journal on
Computing 4, pp. 431–442, 1975</ref> beweist, dass
relativierende Beweistechniken kein probates Mittel fÃ¼r das P-NP-
Problem sein kÃ¶nnen und viele Angriffsmethoden auf das P-NP-Problem
aus der theoretischen Informatik hierdurch ausfallen: : Es existieren
zwei Orakel <math>A</math> und <math>B</math>, so dass <math>
\operatorname{P}^A = \operatorname{NP}^A</math> und <math>\operatorname
{P}^B \neq \operatorname{NP}^B</math>. ==Praktische Relevanz== Sehr
viele, auch praktisch relevante Probleme, sind NP-vollstÃ¤ndig.
431-442, 1975 </ ref> proving that no relativizing proof techniques
can be effective means for the P-NP problem, and turn out to be many
methods of attack on the P-NP problem in theoretical computer science
thus: There are two oracle <math > A </ math> and <math> B </ math>,
so that <math> \ operatorname (P) ^ A = \ operatorname (NP) ^ A </
math> and <math> \ operatorname (P) ^ B \ neq \ operatorname (NP) ^ B
</ math>. == == Many practical relevance, and practically relevant
problems are NP-complete. Die LÃ¶sung des Problems kÃ¶nnte daher von groÃer
Bedeutung sein. The solution of the problem could therefore be
of great importance. Der Beweis von P=NP wÃ¼rde bedeuten, dass fÃ¼r
Probleme der bisherigen Klasse NP Algorithmen existieren, die eine
LÃ¶sung in â wesentlich schnellerer â Polynomialzeit generieren
kÃ¶nnen. The proof of P = NP would imply that there are problems
for the previous class NP algorithms that can generate a solution -
much quicker - polynomial time. Da es jedoch in den
vergangenen Jahrhunderten noch nicht gelungen ist, auch nur einen
einzigen dieser Algorithmen zu finden, ist es zweifelhaft, dass nach
dem Existenzbeweis umgehend ein Polynomialzeit-Algorithmus fÃ¼r diese
Probleme gefunden wÃ¼rde. Viele praktische Anwendungen fÃ¼r NP-
vollstÃ¤ndige Probleme, wie zum Beispiel das [[Problem des
Handlungsreisenden]], das [[Rucksackproblem]] oder das Problem der
[[FÃ¤rbung (Graphentheorie)|FÃ¤rbung von Graphen]], wÃ¤ren im Fall P=NP
theoretisch optimal in kurzer Zeit lÃ¶sbar. Mit dem Beweis von P≠NP
wÃ¤ren NP-Probleme endgÃ¼ltig als schwer lÃ¶sbar klassifiziert. As
it is, however, not yet succeeded in the past centuries to find even
one of these algorithms, it is doubtful that any would be found
immediately after the existence proof, a polynomial time algorithm for
these problems. Many practical applications for NP-complete problems,
such as ] For example, the [[traveling salesman problem]], the
[[knapsack problem]], or the problem of [[coloring (graph theory) |
coloring of graphs], in the case of P = NP would theoretically be
solved optimally in a short time. The evidence of P â NP NP problems
would be permanently classified as difficult to solve. P≠NP entspricht
derzeit der Annahme der meisten Wissenschaftler, und der Beweis wÃ¤re
weniger folgenschwer als der Beweis von P=NP. In der [[Kryptologie]]
ist KomplexitÃ¤t im Gegensatz zu den meisten anderen Bereichen eine
erwÃ¼nschte Eigenschaft. P â NP is currently equivalent to the
assumption of most scientists, and the proof would be less momentous
than the proof of P = NP. In the [[cryptography]] complexity, in
contrast to most other areas a desirable property. Die Sicherheit von
[[Asymmetrisches Kryptosystem|asymmetrischen
VerschlÃ¼sselungsverfahren]] basiert allein auf diesem Faktor.
The safety of [[key cryptography | asymmetric encryption method]] is
based solely on this factor. Entgegen verbreiteten FehleinschÃ¤tzungen ist
das P-NP-Problem dennoch kryptologisch eher unbedeutend.
Contrary to popular misconceptions, the P-NP problem still
cryptologically rather insignificant. Diese beruhen auf
verschiedenen komplexitÃ¤tstheoretischen Definitionen, die zur
Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen nicht sinnvoll sind. These are based on different definitions of complexity-which to
assess the security of cryptographic systems are not useful.
Problematisch sind in diesem Zusammenhang insbesondere die
formale Definition einer [[Einwegfunktion]] sowie die Ã¼bliche
Betrachtung des schlechtesten Falls ([[Worst Case]]) als MaÃ der
KomplexitÃ¤t. ==Siehe auch== *[[Karps 21 NP-vollstÃ¤ndige Probleme]] *
[[Parametrisierter Algorithmus|Parametrisierte Algorithmen]]
==Quellen== <references/> ==Weblinks== *[http://www.tele-task.de/
series/list/641/ Vorlesungsreihe zur "KomplexitÃ¤tstheorie"], Prof. Dr.
[[Christoph Meinel (Informatiker)|Christoph Meinel]], [[Hasso-Plattner-
Institut]] (Sommersemester 2008) *[http://www.claymath.org/millennium/
P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute: P vs NP Problem] (englisch) *
[http://www.win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP.htm âThe P-versus-NP
pageâ]: Eine Sammlung von Links zu wissenschaftlichen Artikeln zum P-
NP-Problem (englisch) [[Kategorie:KomplexitÃ¤tstheorie]] [[ar:ÙØ³Ø£ÙØ©
P=NP]] [[ca:P versus NP]] [[cs:ProblÃ©m P versus NP]] [[en:P = NP
problem]] [[eo:Demando P = NP]] [[es:Clases de complejidad P y NP]]
[[fi:P=NP]] [[he:P=NP]] [[it:Classi di complessitÃ P e NP]] [[ja:Pâ NPäº
æ³]] [[ko:P-NP ë¬¸ì ]] [[pt:P versus NP]] [[ru:Ð Ð°Ð²ÐµÐ½ÑÑÐ²Ð¾ ÐºÐ»Ð°ÑÑÐ¾Ð² P Ð¸ NP]]
[[simple:P versus NP]] [[sr:Ð = ÐÐ Ð¿ÑÐ¾Ð±Ð»ÐµÐ¼]] [[sv:P=NP?]]
[[th:à¸à¸¥à¸¸à¹à¸¡à¸à¸§à¸²à¸¡à¸à¸±à¸à¸à¹à¸à¸ à¸à¸µ à¹à¸¥à¸° à¹à¸à¹à¸à¸à¸µ]] [[tr:P ile NP arasÄ±ndaki
iliÅki]] [[zh:P/NPé®é¢]] The problem in this connection, the
formal definition of a [[one-way function]] as well as the usual
consideration of worst-case ([[worst case]]) as a measure of
complexity. == See also == * [[Karp's 21 NP-complete problems ]] *
[[Parameterized complexity | Parameterized algorithms]] == Sources ==
<references/> == References == * [http://www.tele-task.de/series/list/
641/ lecture series on "complexity theory "], Dr. [[Christoph Meinel
(computer) | Christoph Meinel]] [[Hasso Plattner Institute]] (Summer
2008) * [http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics
Institute: P versus NP Problem] (English) * [~ http://www.win.tue.nl/
gwoegi / P-versus-NP.htm "The P-versus-NP page"]: A collection of
links to scientific articles to the P-NP problem (english) [[Category:
Computational complexity theory]] [[ar: ÙØ³Ø£ÙØ© P = NP]] [[ca: P versus
NP]] [[cs: P versus NP problem]] [[ s: P = NP problem]] [[eo: Demando
P = NP]] [[es: Clases de complejidad y P NP]] [[fi: P = NP]] [[he: P =
NP]] [[ it: Classi di complessitÃ P e NP]] [[ja: P â NPäºæ³]] [[ko: P-NP
ë¬¸ì ]] [[pt: P versus NP]] [[ru: Ð Ð°Ð²ÐµÐ½ÑÑÐ²Ð¾ ÐºÐ»Ð°ÑÑÐ¾Ð² Ð¸ P NP]] [[simple: P
versus NP]] [[sr: Ð = ÐÐ Ð¿ÑÐ¾Ð±Ð»ÐµÐ¼]] [[sv: P = NP?]] [[th:
à¸à¸¥à¸¸à¹à¸¡à¸à¸§à¸²à¸¡à¸à¸±à¸à¸à¹à¸à¸à¸à¸µà¹à¸¥à¸°à¹à¸à¹à¸à¸à¸µ]] [[tr: P ile arasÄ±ndaki NP iliÅki]] [[zh:
P / NPé®é¢]]

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